【数据结构】非线性结构——二叉树

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【数据结构】受限制的线性表——队列

前言

前面我们都是学的线性结构的数据结构，接下来我们就需要来学习非线性的数据结构，我们先来学第一个非线性的数据结构——树。每一门学科都来自生活，从生活中学习，我们要学的树就是来自生活，这种数据结构就像我们大自然中的树倒立着一样，所以我们取名为树。

1.树型结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2.除根结点外，其余结点被分成m(m > 0)个互不相交的集合t1、t2、…、tm，其中每一个集合ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树不能有交集，否则不具备树形结构。

1.2树的特性

1.子树是不相交的
2.除了根结点以外，每一个结点只有一个父节点。
3.一棵n个结点的树有n-1条边。

1.3树的一些性质

**结点的度：**一个结点含有子树的个数称为该结点的度；
**树的度：**一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
**双亲结点或父结点：**若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
**孩子结点或子结点：**一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
**根结点：**一棵树中，没有双亲结点的结点；
**结点的层次：**从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
**树的高度或深度：**树中结点的最大层次；
**非终端结点或分支结点：**度不为0的结点；
**兄弟结点：**具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
**堂兄弟结点：**双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
**结点的祖先：**从根到该结点所经分支上的所有结点；
**子孙：**以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
**森林：**由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.4树的一些表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class node {
   
 int value;              
node firstchild;        
// 树中存储的数据
// 第一个孩子引用
node nextbrother;     // 下一个兄弟引用   
}

1.5树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2.二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
   
   
   从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
   

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为k，且结点总数是，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树的最大结点数是(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i
   的结点有：
   若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

 // 孩子表示法
class node {
   
    int val;        // 数据域
    node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
 
// 孩子双亲表示法
class node {
   
    int val;        // 数据域
    node left;