【数据结构】详解二叉树与堆与堆排序的关系

目录

1、树概念及结构

1.1、树的概念

1.2 树的相关概念 

2、二叉树概念及结构

2.1、概念

2.2、 特殊的二叉树

2.3、二叉树的性质 

2.5 、二叉树的存储结构

3、二叉树的顺序结构及实现

3.1、 二叉树的顺序结构

3.2、堆的概念及结构

 3.3、堆的实现

3.3.1、堆的结构代码

3.3.2、堆的初始化

3.3.3、堆的插入

 3.3.4、堆的删除

 3.3.5、取堆顶数据

3.3.6、堆的个数

3.3.7、堆的判空

3.3.8、堆的销毁

3.4、建堆的时间复杂度

3.4.1、向上建堆的时间复杂度

 3.4.2、向下调整建堆的时间复杂度证明

3.5、堆的应用

3.5.1、堆排序

 3.5.2、堆排序代码

3.5.3、top-k问题

1、树概念及结构

1.1、树的概念

1.2 树的相关概念 

2、二叉树概念及结构

2.1、概念

 从上图可以看出：

2.2、 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3、二叉树的性质 

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log(n+1). (ps： 是log以2 为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.5 、二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

如下图所示：

3、二叉树的顺序结构及实现

3.1、 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2、堆的概念及结构

堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（例如下面第一张图所示）；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（例如下面第二张图所示）

 3.3、堆的实现

3.3.1、堆的结构代码

typedef int hpdatatype;
typedef struct heap
{
	hpdatatype* a;//数组
	int size;//堆结点个数
	int capacity;//堆的容量
}heap;

3.3.2、堆的初始化

// 堆的构建
void heapcreate(heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = (hpdatatype*)malloc(sizeof(int) * 4);
	hp->size = 0;
	hp->capacity = 4;
}

3.3.3、堆的插入

//堆的向上调整
void adjustup(hpdatatype* a, int child)
{
    //这里构建的是大根堆
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)//如果孩子结点不大于0就跳出循环
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;//孩子结点走到父节点
			parent = (child - 1) / 2;//更新父节点
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void heappush(heap* hp, hpdatatype x)
{
	assert(hp);
	if (hp->size == hp->capacity)//判断堆的容量是否满足
	{
		hpdatatype* tmp = (hpdatatype*)realloc(hp->a, sizeof(int) * hp->capacity * 2);
		if (tmp == null)
		{
			perror("realloc fail:");
			exit(-1);
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity *= 2;
	}
	hp->a[hp->size] = x;
	hp->size++;
	adjustup(hp->a, hp->size - 1);//插入向上调整算法
}

 3.3.4、堆的删除

//堆的向下调整
void adjustdown(hpdatatype* a, int n, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
		{
			child += 1;
		}
		if (a[child] > a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void heappop(heap* hp)
{
	assert(hp);
	swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);将堆顶的数和最后一个叶子结点交换
	hp->size--;//堆个数减1
	adjustdown(hp->a, hp->size, 0);//调用向下调整算法
}

 3.3.5、取堆顶数据

hpdatatype heaptop(heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->a[0];
}

3.3.6、堆的个数

int heapsize(heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size;
}

3.3.7、堆的判空

bool heapempty(heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

3.3.8、堆的销毁

void heapdestory(heap* hp)
{
	assert(hp);
	free(hp->a);
	hp->capacity = hp->size = 0;
}

3.4、建堆的时间复杂度

3.4.1、向上建堆的时间复杂度

 时间复杂度证明如下图所示：

 3.4.2、向下调整建堆的时间复杂度证明

计算证明如下图所示： 

3.5、堆的应用

3.5.1、堆排序

堆排序就是利用堆进行排序的方法。它的基本思想是，将待排序的序列构造成一个大顶堆。此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将它移走（其实就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的n-1个序列重新构造一个堆，这就会得到n个元素的次大值。如此反复执行，便能得到一个有序序列。

 堆排序的图形演示：

 3.5.2、堆排序代码

#define _crt_secure_no_warnings 1
#include<stdio.h>
void swap(int* p1, int* p2)
{
	int x = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = x;
}
void printarray(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
}

void adjustdown(int* a, int n, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child <= n)
	{
		if (child + 1 <= n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child += 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void heapsort(int* a, int n)
{
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		adjustdown(a, n - 1, i);
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		swap(&a[0], &a[end]);
		end--;
		adjustdown(a, end, 0);
	}
	printarray(a, n);
}
int main()
{
	int a[10] = { 4,2,7,8,3,1,5,6,9,0 };
	heapsort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	return 0;
}

3.5.3、top-k问题

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<time.h>
void swap(int * p1,int * p2)
{
	int x = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = x;
}
//堆的向下调整
void adjustdown(int * a, int n, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child += 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void printtopk(const char* fin, int k)
{
	// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
	int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (topk == null)
	{
		perror("malloc fail:");
		return;
	}
	file* fout = fopen(fin, "r");
	if (fout == null)
	{
		perror("file fail");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout,"%d",&topk[i]);
	}
	// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
	for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		adjustdown(topk, k, i);
	}
	int val = 0;
	int ret = fscanf(fout, "%d", &val);
	while (ret != eof)
	{
		if (val > topk[0])
		{
			topk[0] = val;
			adjustdown(topk, k, 0);
		}
		ret = fscanf(fout, "%d", &val);
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", topk[i]);
	}
	printf("\n");
	free(topk);
	fclose(fout);
}

void createndate()
{
	// 造数据
	int n = 10000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	file* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == null)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}

	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x = rand() % 10000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}

	fclose(fin);
}

int main()
{

	createndate();
	printtopk("data.txt", 10);

	return 0;
}