数据结构奇妙旅程之二叉树初阶_数据结构

一.树

1.概念（简单了解即可）

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看

起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成 m(m > 0) 个互不相交的集合 t1 、 t2 、 ...... 、 tm ，其中每一个集合 ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。

每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.树的基本术语

2.1需要重点记忆的

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：a的度为3

树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3

叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图：e, f, g, h, i, j 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： a 是 b 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： b 是 a 的孩子结点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： a

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为3

2.2简单了解即可

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图：b 、c 、d 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： b 、 c 是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： h 、 i 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： a 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 a 的子孙

森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3.树的代码表示形式（简单了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，

孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class node {
int value; // 树中存储的数据
node firstchild; // 第一个孩子引用
node nextbrother; // 下一个兄弟引用
}

二.二叉树（重点掌握）

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

1.1二叉树的基本形态

1.2两种特殊的二叉树

1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 k ，且结点总数是 2^k - 1 ，则它就是满二叉树 。

2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 k 的，有 n

个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.性质

1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) (i>0) 个结点

2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 k 的二叉树的最大结点数是2^k - 1

(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 log2(n+1) 上取整

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ：

若i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点

若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子

若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子

3.基本操作

public class binarytree {
    static class treenode {
        public char val;
        public treenode left;
        public treenode right;
        public treenode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    //以穷举的方式 创建一棵二叉树出来
    public treenode createtree() {
        treenode a = new treenode('a');
        treenode b = new treenode('b');
        treenode c = new treenode('c');
        treenode d = new treenode('d');
        treenode e = new treenode('e');
        treenode f = new treenode('f');
        treenode g = new treenode('g');
        treenode h = new treenode('h');
        a.left = b;
        a.right = c;
        b.left = d;
        b.right = e;
        c.left = f;
        c.right = g;
        e.right = h;
        return a;
    }
    //前序遍历
   public void preorder(treenode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        system.out.print(root.val + " ");
        preorder(root.left);
        preorder(root.right);
    }
    //中序遍历
    public void inorder(treenode root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        inorder(root.left);
        system.out.print(root.val + " ");
        inorder(root.right);
    }
    //后序遍历
    public void postorder(treenode root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        postorder(root.left);
        postorder(root.right);
        system.out.print(root.val + " ");
    }
    // 获取二叉树中节点的个数
    public int size(treenode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        return size(root.left)+size(root.right)+1;
    }
    // 获取叶子节点的个数
    public int getleafnodecount(treenode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getleafnodecount(root.left) + getleafnodecount(root.right);
    }
    // 获取第k层节点的个数
    public int getklevelnodecount(treenode root,int k) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getklevelnodecount(root.left,k-1) + getklevelnodecount(root.right,k-1);
    }
    // 获取二叉树的高度
    public int getheight(treenode root) {
      if(root == null) {
          return 0;
      }
      int lefth = getheight(root.left);
      int righth = getheight(root.right);
      return math.max(lefth,righth)+1;
    }
    // 检测值为value的元素是否存在
    public boolean find(treenode root,char val) {
        if(root == null) {
            return false;
        }
        if(root.val == val) {
            return true;
        }
        return find(root.left, val) || find(root.right, val);
    }
    //层序遍历使用队列来辅助
    //当涉及到层序遍历时，通常情况下使用队列来实现会更为简单和高效
    public void levelorder(treenode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        queue<treenode> q = new linkedlist<>();
        q.offer(root);
        while (!q.isempty()) {
           treenode cur = q.poll();
            system.out.print(cur.val + " ");
            if(cur.left != null) {
                q.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                q.offer(cur.right);
            }
        }
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean iscompletetree(treenode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        queue<treenode> queue = new linkedlist<>();
        queue.offer(root);
        boolean end = false;
        while (!queue.isempty()) {
            treenode current = queue.poll();
            if (current == null) {
                end = true;
            } else {
                if (end) {
                    return false; // 如果已经遇到空节点，再遇到非空节点，说明不是完全二叉树
                }
                queue.offer(current.left);
                queue.offer(current.right);
            }
        }
        return true;
    }
}